Gibt es Paradoxien?

In einigen der vergangenen Blogeinträge habe ich versucht, Gödel zu verteidigen, da ein Leser die Gültigkeit seiner Unvollständigkeitssätze bezweifelte. Die Formulierung der Unvollständigkeitssätze, die ich dort gebracht habe, setzt ja die Existenz von paradoxen Aussagen voraus, also von Aussagen, die weder wahr noch falsch sind, weil sie ihr Gegenteil implizieren. Es wurde dagegen der Einwand erhoben, es gebe gar keine paradoxen Aussagen; deswegen seien die Gödelschen Sätze Unsinn. Ich brachte als Gegenbeispiel die Aussage "Dieser Satz ist falsch", welcher ja sein Gegenteil impliziert.

Als ich darüber nun erneut nachgedacht habe, ist mir eingefallen, dass es nach der Klassischen Logik ja tatsächlich keine paradoxen Aussagen geben kann, weil das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten gilt: Entweder ist eine Aussage wahr, oder ihr Gegenteil ist wahr. Wenn aber eine Aussage ihr Gegenteil impliziert, dann kann diese Aussage nach den Gesetzen der Klassischen Logik nur falsch sein, weil wahre Aussagen nicht falsche Aussagen implizieren können, aber falsche Aussagen wahre Aussagen implizieren können. Die Aussage "Dieser Satz ist falsch" ist nach Klassischer Logik also keine paradoxe Aussage, sondern schlichtweg falsch.

Zur Ehrenrettung der Gödel-Anhänger sei Folgendes gesagt:

1. Man könnte die Gödelschen Sätze verabsolutieren. Dann folgt aus ihnen, dass die Klassische Logik, da sie keine paradoxen Aussagen kennt, inkonsistent sei. Im Grunde genommen ungeheuerlich.

2. Laut Wikipedia machen die Gödelschen Sätze in ihrer Originalformulierung gar nicht von Paradoxien Gebrauch, vielmehr machen sie Aussagen über Sätze, die wahr, aber nicht ableitbar sind. Wenn man diese Formulierung der Gödelschen Sätze nimmt, muss man sie anders bewerten.

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