Endliche Differenzen und Summenformeln
Beim Aufräumen dieses Blogs habe ich leider auch ein wertvolles Posting über Endliche Differenzen gelöscht. Dieses möchte ich nun wieder herstellen.
Ende 2010 habe ich die Beobachtung gemacht, dass sich Summen auf eine bestimmte Weise darstellen lassen. Ich habe darüber hier geschrieben: https://www.pouet.net/topic.php?which=7754
Daraufhin hat mich ein Mitlesender auf das folgende Paper verwiesen: https://www.cs.purdue.edu/homes/dgleich/publications/Gleich%202005%20-%20finite%20calculus.pdf
Es gilt:
x^m = x (x - 1) (x - 2) ... (x - (m - 1))
∆x^m = (x + 1)^m - x^m = (x + 1) x (x - 1) ... (x + 1 - (m - 1)) - x^m = m x^(m - 1)
Daraus folgt zum Beispiel:
∆x^2 = (x + 1) x - x (x - 1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x
∆x^3 = (x + 1) x (x - 1) - x (x - 1) (x - 2) = 3x^2 = 3x (x - 1)
=> ∑x (x - 1) = ∑x^2 = 1/3 ∑∆x^3 = 1/3 (∑(x = 1 to n + 1)∆x^3 - ∑(x = 1 to n)∆x^3) = 1/3 (n+1)^3 = 1/3 (n + 2) (n + 1) n
=> ∑x (x + 1) = 1/3 (n + 1) n (n - 1)
(Wenn nicht anders angegeben, dann ist die Summe von 1 bis n gemeint.)
Die allgemeine Summenformel lässt sich analog ableiten und lautet:
∆x^k = k x^(k - 1) => ∑(x + 1)^(k - 1) = 1/k (n + 1)^k
Ende 2010 habe ich die Beobachtung gemacht, dass sich Summen auf eine bestimmte Weise darstellen lassen. Ich habe darüber hier geschrieben: https://www.pouet.net/topic.php?which=7754
Daraufhin hat mich ein Mitlesender auf das folgende Paper verwiesen: https://www.cs.purdue.edu/homes/dgleich/publications/Gleich%202005%20-%20finite%20calculus.pdf
Es gilt:
x^m = x (x - 1) (x - 2) ... (x - (m - 1))
∆x^m = (x + 1)^m - x^m = (x + 1) x (x - 1) ... (x + 1 - (m - 1)) - x^m = m x^(m - 1)
Daraus folgt zum Beispiel:
∆x^2 = (x + 1) x - x (x - 1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x
∆x^3 = (x + 1) x (x - 1) - x (x - 1) (x - 2) = 3x^2 = 3x (x - 1)
=> ∑x (x - 1) = ∑x^2 = 1/3 ∑∆x^3 = 1/3 (∑(x = 1 to n + 1)∆x^3 - ∑(x = 1 to n)∆x^3) = 1/3 (n+1)^3 = 1/3 (n + 2) (n + 1) n
=> ∑x (x + 1) = 1/3 (n + 1) n (n - 1)
(Wenn nicht anders angegeben, dann ist die Summe von 1 bis n gemeint.)
Die allgemeine Summenformel lässt sich analog ableiten und lautet:
∆x^k = k x^(k - 1) => ∑(x + 1)^(k - 1) = 1/k (n + 1)^k
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