Endliche Differenzen und Summenformeln
Beim Aufräumen dieses Blogs habe ich leider auch ein wertvolles Posting über Endliche Differenzen gelöscht. Dieses möchte ich nun wieder herstellen. Ende 2010 habe ich die Beobachtung gemacht, dass sich Summen auf eine bestimmte Weise darstellen lassen. Ich habe darüber hier geschrieben: https://www.pouet.net/topic.php?which=7754 Daraufhin hat mich ein Mitlesender auf das folgende Paper verwiesen: https://www.cs.purdue.edu/homes/dgleich/publications/Gleich%202005%20-%20finite%20calculus.pdf Es gilt: x^ m = x (x - 1) (x - 2) ... (x - (m - 1)) ∆x^ m = (x + 1)^ m - x^ m = (x + 1) x (x - 1) ... (x + 1 - (m - 1)) - x^ m = m x^( m - 1) Daraus folgt zum Beispiel: ∆x^ 2 = (x + 1) x - x (x - 1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x ∆x^ 3 = (x + 1) x (x - 1) - x (x - 1) (x - 2) = 3x^ 2 = 3x (x - 1) => ∑x (x - 1) = ∑x^ 2 = 1/3 ∑∆x^ 3 = 1/3 (∑(x = 1 to n + 1)∆x^ 3 - ∑(x = 1 to n)∆x^ 3 ) = 1/3 (n+1)^ 3 = 1/3 (n + 2) (n + 1) n => ∑x (x + 1) = 1/3 (n + 1) n (n - 1) (Wenn nicht